گرادیان

گرادیان

گرادیان یک تابع و یا میدان اسکالر کمیتی برداری است که اندازه و جهت بیشترین نرخ فضائی تغییرات آن تابع یا میدان اسکالر را نمایش می دهد و بصورت زیر تعریف می شود:

∇f=(∂f/(∂x_1 ),…,∂f/(∂x_n ))

یکی از کاربردهای آن محاسبه میزان تغییرات یک تابع در یک جهت معین است به این صورت که اگر گرادیان تابع را در یک بردار مکان ضرب داخلی کنیم حاصل تغییرات تابع در جهت آن بردار را به ما می دهد که یک مقدار اسکالر است که اگر این تغییرات برابر با صفر باشد نشان دهنده این است که بهر دو بردار بر هم عمود بوده اند.
یکی از کاربردی ترین مسائل در حیطه گرادیان، محاسبه پتانسیل الکترواستاتیکی است. شدت میدان الکتریکیی برابر با ماکزیمم آهنگ فضایی تغییر پتانسیل است که جهت آن بر سطح هم پتانسیل عمود است.

E=- dV/dN a_N

در این رابطهa_N بردار یکه عمود بر سطوح هم پتانسیل است و این عمود به گونه ای انتخاب می شود که به جهت افزایش مقدار V اشاره کند و نوشته می شود:

E=-∇V

.که بیان می کند میدان الکتریکی برابر با منفی آنپتانسیل الکترواستاتیکی است

در این فیلم آموزشی به معرفی گرادیان یک میدان اسکالر در دستگاه مختصات دکارتی پرداخته می شود. در این دستگاه مختصات، بردار عمود بر سطح a_N برحسب بردارهای یکه a_x،a_y،a_z بیان می شود و گرادیان میدان اسکار در این دستگاه بصورت زیر
∇V= ∂V/∂x a_x+∂V/∂y a_y+∂V/∂z a_z
.محاسبه می شود

گرادیان در ویکی پدیا

دانلود ویدیو

دانلود جزوه

(۱۰۷۹۴)