معادله لاپلاس در یک بعد

معادله پواسون و لاپلاس

پاسخ معادلات الکتریسیته ساکن در فضای آزاد به فرم انتگرالی بر حسب توزیع های بار قابل نوشتن است. اما در بسیاری از موارد این انتگرال به طور تحلیلی قابل محاسبه نیست. مشکل دیگر این پاسخ آن است که در بسیاری از موارد، توزیع بار روی هادی ها قبل از حل مسئله مشخص نیست. بنابراین یک راه حل مناسب استفاده از معادله لاپلاس است. معادله لاپلاس حالت خاصی از معادله پواسون است، یعنی در نقاطی که بار آزاد وجود ندارد معادله پواسون به معادله لاپلاس تبدیل می شود. معادله پواسون خود از ترکیب معادلات مربوط به الکتریسیته ساکن بدست می آید.

بسیاری از مسائل الکتریسیته ساکن به ویژه مسائل مربوط به هادی ها با معادله لاپلاس توصیف می شوند. به طوری که گاه الکتریسیته ساکن را معادل با حل معادله لاپلاس می دانند. پاسخ معادله لاپلاس دو ویژگی جالب دارد:

خاصیت میانگین: مقدار پتانسیل در هر نقطه برابر میانگین نقاط اطرافش است. در دو بعد نقاط اطراف را می توان دایره ای به شعاع R حول نقطه مورد نظر در نظر گرفت و در سه بعد نقاط اطراف را می توان کره ای به شعاع R حول نقطه مورد نظر تعریف کرد.

خاصیت نداشتن ماکزیمم و مینیمم نسبی: پاسخ معادله لاپلاس هیچ ماکزیمم و مینیمم نسبی ندارد و نقاط اکسترمم تنها در مرزهای مسئله رخ می دهند. این خاصیت را می توان با استفاده از خاصیت قبلی ثابت کرد.

معادله لاپلاس اهمیت زیادی در ریاضی و فیزیک دارد و معادله حاکم بر بسیاری از پدیده های فیزیکی نیز هست. معادله لاپلاس در الکتریسیته ساکن با اعمال عملگر لاپلاسین بر روی پتانسیل اسکالر الکتریکی و برابر صفر قرار دادن آن بدست می آید.

توضیح مختصر فیلم

معادله لاپلاس در یک بعد را می توان به پنج حالت کلی تقسیم کرد. در این فیلم آموزشی انواع (پنج نوع) معادله لاپلاس در یک بعد معرفی و حل آنها ارائه می شود.

[۱] D. J. Griffiths, introduction to electrodynamics

[۲] Cheng, David Keun. Field and wave electromagnetics. Vol. 2. New York: Addison-wesley, 1989.

دانلود جزوه

دانلود ویدئو

(۲۹۸۴)