قانون گاوس و کاربرد آن در حل مسائل با تقارن استوانه ای

قانون گاوس

قانون گاوس قانونی است در رابطه با توزیع بار الکتریکی که نتیجه آن میدان الکتریکی است. قانون گاوس از این قرار است: شار الکتریکی گذرنده از هر سطح بسته برابر مجموع بار داخل آن سطح بسته است. این قانون توسط کارل فردریک گاوس در سال ۱۸۳۵ فرمولبندی شد ولی در سال ۱۸۶۷ منتشر گشت. این قانون یکی از چهار معادله ماکسول و یکی از دو معادله الکترواستاتیک است.

از این قانون می توان در استخراج قانون کولن استفاده کرد. البته عکس آن هم درست است یعنی این قانون نیز از قانون کولن بدست می آید.

قانون گاوس شباهت زیادی به قوانین دیگری در فیزیک دارد. برای مثال به قانون گاوس برای گرانش یا قانون گاوس برای مغناطیس بسیار شبیه است. در حقیقت هر قانون عکس مربع می تواند به شکل قانون گاوس فرمولبندی شود. به عنوان نمونه خود قانون گاوس از قانون عکس مربع کولن منتج می شود و قانون گاوس برای گرانش از قانون عکس مربع نیوتن حاصل می گردد.

کاربرد قانون گاوس در حل مسائل متقارن

از قانون گاوس می توان در حل مسائل متقارن استفاده کرد. البته این جمله معنی عدم صحت قانون گاوس در مسائل نامتقارن نیست. بلکه ضمن صحت قانون گاوس، کمک چندانی به حل مسئله نمی نماید. به عبارت دیگر قانون گاوس همواره درست است ولی همیشه مفید نیست.

 عموما در الکترومغناطیس سه دسته مسئله متقارن به کمک قانون گاوس حل می شود:

۱- مسائل با تقارن کروی: مسائلی که در آن بار یا ضریب گذردهی محیط تنها تابع R هستند. در این مسائل میدان در جهت شعاعی و تابع R است. برای حل این مسائل از سطح گاوسی کروی استفاده می کنیم.

۲- مسائل با تقارن استوانه ای: مسائلی که در آن بار یا ضریب گذردهی محیط تنها تابع r (شعاع در دستگاه مختصات استوانه ای) هستند. در این مسائل میدان در جهت شعاعی و تابع r است. برای حل این مسائل از سطح گاوسی استوانه ای استفاده می کنیم.

۱- مسائل با تقارن سطحی: مسائلی که در آن بار یا ضریب گذردهی محیط تنها تابع یکی ار مختصه های دستگاه مختصات دکارتی (مثلا z) هستند. در این مسائل میدان در جهت آن مختصه (مثلا z)  و تابع همان مختصه (مثلا z) است. برای حل این مسائل از سطح گاوسی مکعبی استفاده می کنیم.

توضیح مختصر فیلم

در این فیلم آموزشی مسائل با تقارن استوانه ای معرفی می شوند و فرم میدان الکتریکی برای این مسائل بدست آمده، سپس با استفاده از قانون گاوس مسئله حل می شود.

[۱] D. J. Griffiths, introduction to electrodynamics

[۲] Cheng, David Keun. Field and wave electromagnetics. Vol. 2. New York: Addison-wesley, 1989.

دانلود جزوه

دانلود ویدئو

(۹۴۷۹)