رسم مجانبها در مکان هندسی ریشه ها

در طراحی سیستمهای کنترل خطی، در بعضی سیستمها وجود یک بهره بتنهایی می تواند قطبهای حلقه بسته را به مکان مطلوب منتقل کند. اگر فقط تعیین پایداری و ناپایداری سیستم حلقه بسته مدنظر باشد در آن صورت استفاده از روش راوث- هرویس کافی خواهد بود ولی اگر مشخصات اصلی پاسخ گذرای سیستم برای ما اهمیت داشته باشد دانستن مکان قطبهای حلقه بسته به ازای مقادیر مختلف بهره لازم خواهد بود. اگر سیستم دارای بهره حلقه متغیری باشد آنگاه مکان قطبهای حلقه بسته به مقدار بهره انتخاب شده برای حلقه بستگی دارد. بنابراین آگاهی طراح از حرکت قطبهای حلقه بسته در صفحه s ضمن تغییر بهره اهمیت خواهد داشت.

قطبهای حلقه بسته ریشه های معادله مشخصه است. ایوانز روش ساده ای برای تعیین ریشه های معادله مشخصه ابداع کرد که بطور گسترده در مهندسی کنترل کاربرد دارد. در این روش که روش مکان هندسی ریشه ها نام دارد ریشه های معادله مشخصه به ازاء تمام مقادیر یک پارامتر از سیستم که معمولا بهره است، رسم می گردد که می توان ریشه های متناظر با هر مقدار خاصی از این پارامترها را روی نمودار مشخص کرد.

بر اساس روش ایوانز نقطه بشرطی جز منحنی مکان ریشه می تواند باشد که دو شرط اندازه و فاز را برآورده کند. بر اساس شرط اندازه باید

شود و بر اساس شرط فاز باید

شود.

بر اساس همین دو شرط یکسری قواعد برای رسم مکان هندسی ریشه ها استخراج می شود که مثبت یا منفی در نظر گرفتن پارامتر  باعث می شود که قواعد رسم برای سیستمهای با کمی با  متفاوت باشد.

منحنی مکان به تعداد قطبهای حلقه باز دارای شاخه است که هر شاخه از منحنی مکان از یک قطب حلقه باز شروع و به سمت یک صفر حلقه باز می رود. اگر تعداد صفرهای محدود تابع تبدیل حلقه باز با قطبهای آن برابر نباشد در این صورت یک سری از شاخه ها به سمت صفرهای نامحدود  در این حالت شاخه هایی که به بینهایت می روند به مجانبهایی مایل خواهند شد که در بینهایت قرار دارند. در این ویدئو نحوه رسم مجانبها در مکان هندسی ریشه ها برای سیستمهای با ، توضیح داده می شود. برای رسم مجانبها دانستن زاویه برخورد مجانبها با محور حقیقی و نیز محل برخورد مجانبها با هم بر روی محور حقیقی برای رسم کافی است.

منابع:

[۱] Modern Control Engineering, Katsuhiko Ogata.

[۲] Designing linear control systems with MATLAB, Katsuhiko Ogata, Prentice Hall, 1994.

[۳] Modern Control Engineering,  Richard C. Dorf,  Robert H. Bishop.

دانلود جزوه

دانلود ویدئو

(۳۰۰۸)