نقاط پیوند و جدایی در مکان هندسی ریشه ها مثال۲

نقاط پیوند و جدایی در مکان هندسی ریشه ها

در طراحی سیستمهای کنترل خطی، در بعضی سیستمها وجود یک بهره بتنهایی می تواند قطبهای حلقه بسته را به مکان مطلوب منتقل کند. اگر فقط تعیین پایداری و ناپایداری سیستم حلقه بسته مدنظر باشد در آن صورت استفاده از روش راوث- هرویس کافی خواهد بود ولی اگر مشخصات اصلی پاسخ گذرای سیستم برای ما اهمیت داشته باشد دانستن مکان قطبهای حلقه بسته به ازای مقادیر مختلف بهره لازم خواهد بود. اگر سیستم دارای بهره حلقه متغیری باشد آنگاه مکان قطبهای حلقه بسته به مقدار بهره انتخاب شده برای حلقه بستگی دارد. بنابراین آگاهی طراح از حرکت قطبهای حلقه بسته در صفحه s ضمن تغییر بهره اهمیت خواهد داشت.

قطبهای حلقه بسته ریشه های معادله مشخصه است. ایوانز روش ساده ای برای تعیین ریشه های معادله مشخصه ابداع کرد که بر اساس روش او نقطه بشرطی جز منحنی مکان ریشه یا قطب حلقه بسته می تواند باشد که دو شرط اندازه و فاز را برآورده کند. بر اساس همین دو شرط یکسری قواعد برای رسم مکان هندسی ریشه ها استخراج می شود که  این قواعد رسم برای سیستمهای با بهره مثبت در برخی موارد با قواعد رسم برای سیستمهای با بهره منفی متفاوت است.

به ازاء بهره هایی که معادله مشخصه ریشه مکرر دارد در مکان هندسی ریشه ها، می تواند نقاط پیوند یا جدایی ایجاد می شود. در نقاط پیوند دو یا چند شاخه از مکان به هم می پیوندند و در نقاط جدایی دو یا چند شاخه از هم جدا می شوند. با استفاده از این نکته که در نقاط پیوند یا جدایی معادله ریشه مکرر دارد می توان به این نتیجه رسید که اگر مقدار بهره را از معادله مشخصه بر حسب s بدست آوریم و از آن نسبت به s مشتق بگیریم مشتق آن در این نقاط صفر است که با استفاده از ویژگی بالا می توان نقاط پیوند یا جدایی را مشخص کرد. اما لزوما تمامی ریشه های معادله بالا نقاط پیوند یا جدایی نخواهند بود. اگر ریشه های معادله بالا حقیقی باشد برای اینکه نقاط پیوند یا جدایی باشد باید جزء منحنی مکان در قسمت حقیقی باشد و اگر ریشه مختلط باشد باید مقدار بدست آمده در این نقاط عدد مثبتی باشد.

در مثال زده شده در این ویدئو نقاط پیوند و جدایی بدست آمده از نوع ریشه های  مختلط است که نحوه تشخیص نقاط پیوند و جدایی در مکان هندسی ریشه ها در این حالت توضیح داده می شود.

منابع:

[۱] Modern Control Engineering, Katsuhiko Ogata.

[۲] Designing linear control systems with MATLAB, Katsuhiko Ogata, Prentice Hall, 1994.

[۳] Modern Control Engineering,  Richard C. Dorf,  Robert H. Bishop.

دانلود جزوه

دانلود ویدئو

(۸۶۱)