معیار پایداری راوث- هرویتز، مثال برای حالت خاص دوم

معیار پایداری راوث- هرویتز، مثال برای حالت خاص دوم

در سیستمهای کنترل خطی یک از مسائل رایجی که در طراحی سیستمها مطرح است پایداری سیستم حلقه بسته است. یکی از روشهای مرسومی که برای تعیین پایداری وجود دارد معیار پایداری راوث- هرویتز است. این معیار روش ساده ای برای تعیین پایداری سیستم حلقه بسته بر اساس معادله مشخصه است. ویژگی معیار پایداری راوث- هرویتز این است که محل دقیق قطبها را برای ما مشخص نمی کند فقط به ما می گوید که آیا معادله مشخصه ریشه سمت راست یا روی محوری دارد یا نه.

معیار پایداری راوث- هرویتز دارای دو شرط لازم برای پایداری است که مربوط به ضرایب معادله مشخصه است که باید هم علامت و غیر صفر باشند و نیز دارای یک شرط کافی است. شرط کافی راوث پس از ترسیم جدول راوث با بررسی ستون اول جدول صورت می گیرد بدین صورت که اگر در ستون اول جدول هیچ تغییر علامتی نداشته باشیم به این معناست که هیچ قطب سمت راستی نداریم. به تعداد تغییر علامت در ستون اول معادله مشخصه ریشه سمت راست خواهد داشت.

همینطور این معیار شامل دو حالت خاص است که حالت خاص دوم مربوط به شرایطی است که در آن تمامی ضرایب یک ردیف صفر می شود. این حالت وقتی اتفاق می افتد که معادله دارای ریشه های متقارن نسبت به مبدا باشد که این ریشه ها می توانند بصورت جفت موهومی، بصورت جفت حقیقی متقارن نسبت به مبدا و یا بصورت جفت مختلط متقارن نسبت به مبدا باشند. وقتی حالت خاص دوم رخ دهد از ضرایب ردیف بالا یک چند جمله ای کمکی ساخته و با مشتق گیری از آن چندجمله ای به چند جمله ای دیگری که مرتبه آن یک مرتبه کمتر از چندجمله ای کمکی است می رسیم. ضرایب چندجمله ای جدید را در ردیف صفر جدول راوث قرار می دهیم و ادامه می دهیم. چندجمله ای بدست آمده از دو جهت مهم است: اول اینکه تعداد جفتهای متقارن نسبت به مبدا با درجه چندجمله ای ارتباط دارد، دوم اینکه از حل چند جمله ای می توان مکان این جفتها را بدست آورد.

در این ویدئو به حل یک مثال دیگر برای حالت خاص دوم معیار پایداری راوث- هرویتز پرداخته می شود.

منابع:

[۱] Modern Control Engineering, Katsuhiko Ogata.

[۲] Designing linear control systems with MATLAB, Katsuhiko Ogata, Prentice Hall, 1994.

[۳] Modern Control Engineering,  Richard C. Dorf,  Robert H. Bishop.

دانلود جزوه

دانلود ویدئو

(۲۹۸۰)