انتگرال سطحی مثال ۱

انتگرال سطحی مثال ۱

انتگرال سطحی در ریاضیات، یک انتگرال معین است که بر روی یک سطح محاسبه می شود. این انتگرال را به‌ عنوان نظیر دوگانه انتگرال خطی در نظر می گیرند.

در بسیاری از مسائل مهندسی لازم است که انتگرال سطحی میدان های اسکالر و برداری محاسبه شوند. از جمله این مسائل محاسبه شار الکتریکی عبوری از یک سطح می باشد که بر اساس قانون گاوس شار الکتریکی گذرنده از هر سطح بسته با کل بار محصور توسط آن سطح برابر است. شار کل گذرنده از سطح بسته با جمع سهم دیفرانسیلهای گذرنده از تمام عناصر سطحی S∆ بدست می آید:

Ψ=∫▒dΨ

= ∮_(بسته سطح)▒〖D_S.dS〗

انتگرال بدست آمده یک انتگرال بروی سطح بسته است. حل این انتگرال به شرط داشتن دو ویژگی آسان خواهد بود:

• D_S همه جا عمود یا مماس بر سطح بسته باشد تا بتوان D_S.dS را به ترتیب به صورت D_S dS یا صفر در آورد.
• روی بخشی از سطح بسته که در آن D_S.dS صفر نیست D_S ثابت باشد.

از آنجائیکه در بسیاری از مسائل عنصر سطحی dS بر سطوح دستگاههای مختصات شناخته شده منطبق است می توان آن را به صورت دیفرانسیلهای دو مختصه مثل dxdy، rdφdz و rsinθdθdφ تبدیل کرد و بصورت یک انتگرال دو گانه حل کرد.

در این فیلم کوتاه به حل یک مثال از انتگرال سطحی  در مختصات استوانه ای پرداخته می شود. مثال مربوط به محاسبه ∮▒〖F.dS〗 روی سطوح جانبی مربعی شکل یک استوانه است که مربوط به سطوح φ ثابت و r ثابت است.

دانلود جزوه

دانلود ویدئو

(۳۰۶۲)