قضیه گرادیان

قضیه گرادیان

قضیه گرادیان بیان می دارد که انتگرال گرادیان یک میدان اسکالر بر روی یک مسیر دلخواه با مقدار آن میدان اسالر در انتها منهای مقدار آن درابتدای مسیر انتگرالگیری داده می شود و مستقل از مسیر انتگرال گیری است [۱]. قضیه گرادیان در واقع تعمیم قضیه اساسی حسابان است که بیان می دارد انتگرال مشتق یک تابع در یک بازه برابر مقدار تابع درانتها منهای مقدار تابع در ابتدای بازه است.

تعبیر هندسی: فرض کنید شما می خواهید ارتفاع برج میلاد را محاسبه کنید. می توانید یک خط کش به دست بگیرید و از پله های برج بالا بروید و ارتفاع هر پله را اندازه گرفته و در انتها این مقادیر را با هم جمع کنید. یا می توانید یک ارتفاع سنج (نسبت به سطح دریاهای آزاد) را برداشته و ارتفاع نوک برج میلاد و پایین آن را محاسبه و این دو مقدار را ازهم کم کنید (طبعا این روش مناسبتر است!). نتیجه هر دو روش یکسان خواهد بود و این همان قضیه گرادیان است [۱]. در روش اول شما در واقع انتگرال گرادیان ارتفاع را و در روش دوم اختلاف ارتفاع در انتها و ابتدای مسیر را محاسبه کرده اید.

منبع:

[۱] D. J. Griffiths, introduction to electrodynamics

دانلود ویدئو

دانلود جزوه

(۵۹۸۱)