انتگرال سطحی مثال ۲

انتگرال سطحی، مثال ۲

انتگرال سطحی در ریاضیات، یک انتگرال معین است که بر روی یک سطح محاسبه می شود. این انتگرال را به‌ عنوان نظیر دوگانه انتگرال خطی در نظر می گیرند.

در بسیاری از مسائل لازم است که انتگرال سطحی میدان های اسکالر و برداری محاسبه شود. از جمله این مسائل محاسبه شار الکتریکی عبوری از یک سطح می باشد که بر اساس قانون گاوس شار الکتریکی گذرنده از هر سطح بسته با کل بار محصور توسط آن سطح برابر است. شار کل گذرنده از سطح بسته با جمع سهم دیفرانسیلهای گذرنده از تمام عناصر سطحی S∆ بدست می آید:

Ψ=∫▒dΨ

= ∮_(بسته سطح)▒〖D_S.dS〗

انتگرال بدست آمده یک انتگرال بروی سطح بسته است. حل این انتگرال به شرط داشتن دو ویژگی آسان خواهد بود:
D_S همه جا عمود یا مماس بر سطح بسته باشد تا بتوان D_S.dS را به ترتیب بصورت D_S dS یا صفر در آورد.
روی بخشی از سطح بسته که در آن D_S.dS صفر نیست D_S ثابت باشد.
از آنجائیکه در بسیاری از مسائل عنصر سطحی dS بر سطوح دستگاههای مختصات شناخته شده منطبق است می توان آن را به صورت دیفرانسیلهای دو مختصه مثل dxdy، rdφdz و rsinθdθdφ تبدیل کرد و بصورت یک انتگرال دو گانه حل کرد.

در این فیلم کوتاه به حل مثال دیگری برای انتگرال سطحی می پردازیم. مثال مربوط به محاسبه ∮▒〖A.dS〗 روی سطحی که بخشی از استوانه سهمی شکل است و به سطوح y ثابت و z ثابت محدود می شود می باشد.

دانلود جزوه

دانلود ویدئو

منبع:

[۱] صفحه انتگرال سطح در ویکی پدیا

(۲۳۲۵)