گرادیان در دستگاه های مختصات غیر دکارتی

گرادیان در دستگاه های مختصات غیر دکارتی

گرادیان یک تابع و یا میدان اسکالر کمیتی برداری است که اندازه و جهت بیشترین نرخ فضائی تغییرات آن تابع یا میدان اسکالر را نمایش می دهد و بصورت زیر تعریف می شود:

∇f=(∂f/(∂x_1 ),…,∂f/(∂x_n ))

یکی از کاربردهای گرادیان محاسبه میزان تغییرات یک تابع در یک جهت معین است به این صورت که اگر گرادیان تابع را در یک بردار مکان ضرب داخلی کنیم حاصل تغییرات تابع در جهت آن بردار را به ما می دهد که یک مقدار اسکالر است که اگر این تغییرات برابر با صفر باشد نشان دهنده این است که بردار گرادیان و بردار مکان بر هم عمود بوده اند.

یکی از کاربردی ترین مسائل در حیطه گرادیان، محاسبه پتانسیل الکترواستاتیکی است. شدت میدان الکتریکیی برابر با ماکزیمم آهنگ فضایی تغییر پتانسیل است که جهت آن بر سطح هم پتانسیل عمود است.

E=- dV/dN a_N

در این رابطهa_N بردار یکه عمود بر سطوح هم پتانسیل است و این عمود به گونه ای انتخاب می شود که به جهت افزایش مقدار V اشاره کند و نوشته می شود:

E=-∇V

که بیان می کند میدان الکتریکی برابر با منفی گرادیان پتانسیل الکترواستاتیکی است.
در این فیلم آموزشی به معرفی گرادیان یک میدان اسکالر در یک دستگاه مختصات دلخواه پرداخته می شود. برای بدست آوردن رابطه گرادیان برای دستگاههای مختصات غیر دکارتی کافیست، ضریب متریک مربوط به هر مولفه آن دستگاه مختصات در مخرج مشتق نسبت به آن مولفه آورده شود. در دستگاههای مختصات استوانه ای و کروی، بردار عمود بر سطح a_N بترتیب برحسب بردارهای یکه a_r،a_φ،a_z و a_r،a_θ،a_φ بیان می شود و گرادیان میدان اسکار در این دستگاهها بترتیب از رابطه زیر قابل محاسبه است:

∇V=∂V/∂r a_r+1/r ∂V/∂φ a_φ+∂V/∂z a_z

∇V=∂V/∂r a_r+1/r ∂V/∂θ a_θ+۱/rsinθ ∂V/∂φ a_φ

دانلود جزوه

دانلود ویدیو

(۹۸۰۶)