روش جداسازی متغیرها در مختصات کروی

روش جداسازی متغیرها

روش جداسازی متغیرها یک روش بسیار پرکاربرد در حل معادلات دیفرانسیل پاره ای است و برای حل معادله لاپلاس نیز استفاده می شود. در این روش پاسخ مسئله برحسب حاصل ضرب توابع یک متغیره که هر یک تابع یکی از مختصه های فضایی (مانند x، y و z) هستند، نوشته می شود. سپس با جاگذاری این پاسخ در معادله، معادله دیفرانسیل پاره ای به چند معادله دیفرانسیل معمولی تبدیل می شود. به طور طبیعی حل معادلات دیفرانسیل معمولی حاصل بسیار ساده تر از حل معادله دیفرانسیل پاره ای است و در اغلب موارد پاسخ تحلیلی برای آن وجود دارد. پس از حل معادلات دیفرانسیل معمولی حاصل و اعمال شرایط مرزی به نحو مناسب، پاسخ کلی با ضرب جواب ها بدست می آید. در مورد معادله لاپلاس این جواب ها را توابع هارمونیک  می نامند.

شرایط لازم برای استفاده از روش جداسازی متغیرها

استفاده از روش جداسازی متغیرها در تمامی مسائل الکترواستاتیک سودمند نیست و تحت شرایطی می تواند منجر به ساده تر شدن حل مسئله گردد. این شرایط عبارتند از:

۱- مرزهای مسئله بر سطوح یک دستگاه مختصات منحنی الخط متعامد منطبق باشد.

۲- شرایط مرزی به یکی از سه نحو زیر باشد:

الف- شرط مرزی دیریشله: پتانسیل روی مرزها مشخص است.

ب- شرط مرزی نیومن: گرادیان پتانسیل (میدان الکتریکی) روی مرزها معلوم است.

پ- شرط مرزی ترکیبی: ترکیبی از دو شرط مرزی بالا.

جداسازی متغیرها در مختصات کروی

جداسازی متغیرها در مختصات کروی (اگر پتانسیل تابع زاویه فی نباشد) منجر به معادلات دیفرانسیلی می شود که پاسخ آنها در راستای تتا به صورت توابع لژاندر و در راستای شعاع به صورت توابع توانی است.

توضیح مختصر فیلم

در این فیلم آموزشی روش جداسازی متغیرها در مختصات کروی بیان می شود و پاسخ معادله لاپلاس در دستگاه مختصات کروی با این روش استخراج می گردد.

[۱] D. J. Griffiths, introduction to electrodynamics

[۲] Cheng, David Keun. Field and wave electromagnetics. Vol. 2. New York: Addison-wesley, 1989.

دانلود جزوه

دانلود ویدئو

(۵۹۲۲)